漫谈 Clustering (1): k-means

by pluskid, on 2008-12-29, in     

本文是“漫谈 Clustering 系列”中的第 1 篇，参见。

好久没有写 blog 了，一来是 blog 下线一段时间，而租 DreamHost 的事情又一直没弄好；二来是没有太多时间，天天都跑去实验室。现在主要折腾 Machine Learning 相关的东西，因为很多东西都不懂，所以平时也找一些资料来看。按照我以前的更新速度的话，这么长时间不写 blog 肯定是要被闷坏的，所以我也觉得还是不定期地整理一下自己了解到的东西，放在 blog 上，一来梳理总是有助于加深理解的，二来也算共享一下知识了。那么，还是从 clustering 说起吧。

中文翻译作“聚类”，简单地说就是把相似的东西分到一组，同 Classification (分类)不同，对于一个 classifier ，通常需要你告诉它“这个东西被分为某某类”这样一些例子，理想情况下，一个 classifier 会从它得到的训练集中进行“学习”，从而具备对未知数据进行分类的能力，这种提供训练数据的过程通常叫做 (监督学习)，而在聚类的时候，我们并不关心某一类是什么，我们需要实现的目标只是把相似的东西聚到一起，因此，一个聚类算法通常只需要知道如何计算相似 度就可以开始工作了，因此 clustering 通常并不需要使用训练数据进行学习，这在 Machine Learning 中被称作 (无监督学习)。

 

举一个简单的例子：现在有一群小学生，你要把他们分成几组，让组内的成员之间尽量相似一些，而组之间则差别大一些。最后分出怎样的结果，就取决于你对于“相似”的定义了，比如，你决定男生和男生是相似的，女生和女生也是相似的，而男生和女生之间则差别很大”，这样，你实际上是用一个可能取两个值“男”和“女”的离散变量来代表了原来的一个小学生，我们通常把这样的变量叫做“”。实际上，在这种情况下，所有的小学生都被映射到了两个点的其中一个上，已经很自然地形成了两个组，不需要专门再做聚类了。另一种可能是使用“身高”这个特征。我在读小学候，每周五在操场开会训话的时候会按照大家住的地方的地域和距离远近来列队，这样结束之后就可以结队回家了。除了让事物映射到一个单独的特征之外，一种常见的做法是同时提取 N 种特征，将它们放在一起组成一个 N 维向量，从而得到一个从原始数据集合到 N 维向量空间的映射——你总是需要显式地或者隐式地完成这样一个过程，因为许多机器学习的算法都需要工作在一个向量空间中。

那么让我们再回到 clustering 的问题上，暂且抛开原始数据是什么形式，假设我们已经将其映射到了一个欧几里德空间上，为了方便展示，就使用二维空间吧，如下图所示：

从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个 cluster ，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是这个样子：